Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы по дисциплине «специальная математика»



страница8/13
Дата05.11.2018
Размер0.64 Mb.
Название файлаСпециальная математика (контрольная).doc
ТипМетодические рекомендации
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
Функция распределения
Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений. Однако, такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально. Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Рассмотренный только что пример даже при относительно простом условии (приборов только четыре) приводит к достаточно неудобным вычислениям, а если в задаче будет несколько сотен приборов? Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин. Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x).

Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х. Функцию распределения также называют интегральной функцией. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения. Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид: Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х. Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.

Так для примера, рассмотренного выше, функция распределения будет иметь вид:





Свойства функции распределения.

1) Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

2) F(x) – неубывающая функция.  при

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.

4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.



Плотность распределения. Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x). Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

Определение.  Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b. Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше. Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b. Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.

Пример. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью: Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

Построим график плотности распределения:



Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .

Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Пример. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией

распределения f(x). Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал . Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1) На участке  : 

2) На участке  

3) На участке  



Итого:  

Построим график плотности распределения: f(x)



Построим график функции распределения:



Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .

Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].



Определение. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

[an error occurred while processing this directive]



Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

Определение. Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум. Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Определение. Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины. Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk. Для дискретной случайной величины: . Для непрерывной случайной величины: .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.



Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Для дискретной случайной величины: . Для непрерывной случайной величины: . Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом. Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты: Абсолютный начальный момент: . Абсолютный центральный момент: . Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.

Пример. Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию. Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или не появления события в другом опыте). Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз. Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий:

1) Белый шар не появился вовсе:

2) Белый шар появился один раз:

3) Белый шар появиться два раза:  .

4) Белый шар появиться три раза:

5) Белый шар появиться четыре раза:

6) Белый шар появился пять раз: Получаем следующий закон распределения случайной величины Х.


х

0

1

2

3

4

5

х2

0

1

4

9

16

25

р(х)

0,0102

0,0768

0,2304

0,3456

0,2592

0,0778

 

 

При решении практических задач зачастую точно найти закон распределения случайной величины довольно сложно. Однако, все происходящие процессы, связанные со случайными величинами, можно разделить на несколько типов, каждому из которых можно поставить в соответствие какой – либо закон распределения. Выше были рассмотрены некоторые типы распределений дискретной случайной величины такие как биноминальное распределение и распределение Пуассона. Рассмотрим теперь некоторые типы законов распределения для непрерывной случайной величины.



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13


База данных защищена авторским правом ©2docus.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница
Контрольная работа
Курсовая работа
Лабораторная работа
Рабочая программа
Методические указания
Пояснительная записка
Методические рекомендации
Учебное пособие
Практическая работа
Общая характеристика
Теоретические основы
Теоретические аспекты
Дипломная работа
Физическая культура
Теоретическая часть
Федеральное государственное
Самостоятельная работа
Технологическая карта
Техническое задание
Выпускная квалификационная
История развития
квалификационная работа
Краткая характеристика
Гражданское право
Методическое пособие
государственное бюджетное
Производственная практика
Общие положения
Методическая разработка
прохождении производственной
Учебная программа
Общие сведения
Направление подготовки
Экономическая теория
Операционная система
Правовое регулирование
Общие требования
Экономическая безопасность
Управление персоналом
Управление образования
История возникновения
Техническое обслуживание
Математическое моделирование
создания отчетов
Теория государства
Системное программирование
Проверочная работа
Структурная схема
Организация производства
физическая культура
Электромагнитная совместимость