Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы по дисциплине «специальная математика»



страница9/13
Дата05.11.2018
Размер0.64 Mb.
Название файлаСпециальная математика (контрольная).doc
ТипМетодические рекомендации
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
Равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю. Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.  f(x)  a b x Получаем . Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a,b]. F(x)
1 0 a b x Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны. Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

 Показательное распределение.



Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью где l - положительное число. Найдем закон распределения.

Графики функции распределения и плотности распределения

:  f(x) F(x) l 1 0 x 0 x 

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.

Результат получен с использованием того факта, что

Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х2).

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим: Тогда



Итого:

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны. Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал. Показательное распределение широко используется в теории надежности. Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени t0=0, а через какое – то время t происходит отказ устройства. Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства. Таким образом, функция распределения F(t) = P(Tt) = 1 – F(t).



Определение. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t. Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению. Вообще говоря, если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать. Другими словами, можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения. Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна: Данное соотношение называют показательным законом надежности. Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t. Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов l и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом. Так как подобным свойством обладает только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.

Нормальный закон распределения.

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. Можно легко показать, что параметры  и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х. Найдем функцию распределения F(x). График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции. Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности. При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно . Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.. Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном. При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13


База данных защищена авторским правом ©2docus.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница
Контрольная работа
Курсовая работа
Лабораторная работа
Рабочая программа
Методические указания
Пояснительная записка
Методические рекомендации
Учебное пособие
Практическая работа
Общая характеристика
Теоретические основы
Теоретические аспекты
Дипломная работа
Физическая культура
Теоретическая часть
Федеральное государственное
Самостоятельная работа
Технологическая карта
Техническое задание
Выпускная квалификационная
История развития
квалификационная работа
Краткая характеристика
Гражданское право
Методическое пособие
государственное бюджетное
Производственная практика
Общие положения
Методическая разработка
прохождении производственной
Учебная программа
Общие сведения
Направление подготовки
Экономическая теория
Операционная система
Правовое регулирование
Общие требования
Экономическая безопасность
Управление персоналом
Управление образования
История возникновения
Техническое обслуживание
Математическое моделирование
создания отчетов
Теория государства
Системное программирование
Проверочная работа
Структурная схема
Организация производства
физическая культура
Электромагнитная совместимость